引言

在去中心化系统中，实现公共物品的最优分配往往面临投资不足的问题，这主要是由于搭便车效应。Vitalik Buterin、Hitzig 和 Weyl 提出了一个扩展二次投票算法的方案，用于实现公共物品的社会最优分配。这个方案被称为二次方融资（quadratic funding），它通过一个赞助商/捐赠者来匹配去中心化社区中个人捐赠者的贡献。在二次方融资机制下，公共物品项目获得的总资金等于个人贡献的平方根之和的平方。

本文首先提供了一个简单的数学证明，说明在理想条件下，二次方融资机制能够实现公共物品的最优分配。接着，我将讨论四种偏离这些理想条件的情况，这些情况可能导致二次方融资机制的次优结果。这些限制包括信息不对称、合谋、欺诈和捐赠者资金不足。最后，我将讨论 Gitcoin Grants，这是二次方融资机制的一个实际应用案例。

二次方融资模型

本节将简要概述二次方融资模型的基本框架。我将从推导中央规划者的最优资源分配开始，然后展示二次方融资模型如何在去中心化环境中实现中央规划者设定的公共物品资金分配水平。推导将主要处于启发式层面，并省略一些细节，例如二阶条件。

假设有 P 个公共物品，用 p = 1, 2, …, P 索引。中央规划者为每个公共物品选择资金水平 Fp。公共物品 p 提供的效用值为 Vp(Fp)。规划者的目标是最大化：

一阶条件是：

因此，规划者将选择为每种公共产品提供资金，直到最后一美元资金的边际效益等于其边际成本。

现在，考虑在二次方融资的分散系统下为公共产品提供资金。设 N 个个体，索引为 i = 1, 2, …, N。每个个体 i 对公共物品 p 都有偏好，表示为

每个人 i 为公共利益贡献 p 数额

然而，公共物品 p 的实际资助将由二次方融资规则决定：

请注意，我们假设花费的资金总额与代理人实际贡献的资金总额之间的差额（即赤字）由某个捐助者或资助者弥补。这个实体的作用是填补赤字。

我会选择的每个代理

从而最大化：

一阶条件是：

或者，

对 i 求和，并注意到

因此

所以，

因此，二次方融资机制将导致P公共物品的融资水平与中央计划者相同。

二次方融资的问题

信息不对称

二次投票实现最佳总体分配能力的一个重要假设是，选民确信他们投票的项目的基本质量。也就是说，虽然选民可以有不同的偏好，但他们都同意项目的质量。然而，实际上，选民对项目质量持有不对称信息。例如，假设某个特定的公共物品是一场赞助的肾脏捐赠分配算法编码竞赛。对于编码竞赛产生功能性算法的可能性有多大，以及如果是的话，它会比现状好多少，选民的评估可能会有所不同。在这种情况下，我们寻求分配效率和信息效率。

Benhaim、Falk 和 Tsoukalas 分析了不对称信息下的二次方融资 [3]。他们从之前证明的结果开始，即在充分信息下，二次方投票实现了分配效率。然而，在质量不确定的情况下，情况通常并非如此。这是基本的直觉。在质量确定性的情况下，二次投票下的加权方案（即获得投票权的成本是递增的）允许选民的偏好与适量的投票权相结合，从而实现最优。然而，在不确定性的情况下，我们关注的不仅仅是汇总偏好。特别是，我们希望通过聚合不对称的信息来更好地发挥“群众的智慧”。在二次投票中情况并非如此，人们认为选民聚集自己信念的动力减弱了。

BFT 发现，在信息不对称的情况下，二次投票实际上可能不如传统的线性投票。这是因为二次投票的递增性可能会阻碍选民准确地反映他们的信念。然而，随着选民数量向无穷大增加，二次投票和线性投票都会有效地聚合选民信息。这表明，在信息不对称严重的情况下，投票系统的设计者应注重提高用户的参与度，例如，可以为选民参与提供明确的奖励。

合谋

合谋是指贡献者之间达成协议，谋取自身利益的同时牺牲其他代币持有者的利益。这种协议可以是公开的，也可以是隐性的，隐性协议更难被发现。实际上，大型投票集团之间的协调可以使公共利益流向合谋者。BHW 承认合谋是二次方融资机制的一项核心弱点。

我们可以通过一个博弈论的简单例子来说明合谋，这个例子来自 Pasquini。设想两个贡献者在一个单次博弈中，就两个项目进行投票，每个贡献者对其中一个项目的资助有实际利益。贡献者 1 和 2 各有 c 资金用于投资。项目 1 所筹集的所有资金归贡献者 1，项目 2 所筹集的所有资金归贡献者 2。

每个贡献者可以选择合作或不合作。合作意味着贡献者将 c/2 资金分别分配给两个项目。不合作则意味着将 c 资金全部投入自己的项目，而不给另一个项目任何资金。

考虑以下四种可能的回报：

A. 如果两者都选择合作，那么根据二次方融资规则，每个项目的资金将等于

网上支付c后，每人收到2c-c=c。

B. 如果一方合作，另一方不合作，则合作一方的项目资金等于

净收益为

不合作的项目资金为

净收益为

C. 如果双方都不合作，则每个项目的资金均等

净收益为 c-c=0。

写出这个游戏的支付矩阵如下：

很明显，唯一的（纯）纳什均衡是双方都选择不合作，这样每个投票者的回报将为零。这种情况类似于囚徒困境，两者通过合作可以获得更好的结果（各得 c），但实际上，不合作的策略占据了主导地位。这表明了 BHW 所说的“单方面激励往往会对某些合谋形式产生强烈的抵制”。

然而，如果这个机制融入到一个无限重复的博弈中，我们知道（在一定的折现条件下），合作的结果可以通过标准的“以牙还牙”策略来维持。这些策略包括合作，但同时威胁任何偏离行为都会受到随后的不合作回应。这种情况可能会对那些允许利用不合作威胁来维持合作均衡的应用构成重大挑战。值得注意的是，Gitcoin Grants 已经经历了多次重复应用。

欺诈

BHW 将欺诈视为二次方融资机制的一个核心脆弱点。他们认为，相比合谋，欺诈更简单且破坏性更强。由于二次函数的凸性，存在一种内在的激励机制，使得个人可以虚假地伪装成多个投票者，这种行为通常被称为“Sybil 攻击”。

BHW 举了一个简单的例子。假设一个投票者想要向一个她有个人利益的项目贡献 $20x。如果她能伪装成 20 个投票者，每人贡献 $x，那么她实际上只需支付 $20x，但她的项目（也就是她自己）将获得：

也就是说，她的个人贡献在名义上增长了 20 倍。如果这种欺诈行为被允许，就会出现明显的套利机会，彻底破坏投票系统的诚信。

BHW 建议，防止这种欺诈的唯一有效措施是建立一个可靠的身份验证系统。然而，在通常为了保持匿名性的 DAO 环境中，实现这一点可能并不容易。此外，还需要对投票结果进行实际审计，并对欺诈行为施加足够的惩罚，以遏制利用欺诈的冲动。

资金不足

在二次方融资机制中，赞助商/捐赠者的角色至关重要。该机制通过对个人贡献应用二次规则，并利用赞助资金来达到相应的资金水平，从而决定公共物品项目的资助金额。然而，实际情况是，捐赠者提供的资金池往往低于实现社会最优分配所需的资金量。这是 Pasquini 所分析的问题。

BHW 对此进行了讨论，并提出了一种“资本约束二次方融资”的机制。这种机制在匹配资金的允许范围内尽可能扩大公共物品的规模，并且仍符合二次方融资的规则。Gitcoin Grants 实际上就是采用了这种机制。

然而，Pasquini 表明，资本约束二次方融资并未能实现最优性。即使在资金约束的情况下，二次方融资规则也未能以社会最优的方式分配资金。原因在于，在受限均衡下，个人贡献较低，因为他们没有充分获得通过贡献所产生的社会效益的补偿。这说明，约束影响了个人投票者的激励，导致偏离必要的一阶最优条件。

Gitcoin Grants

Gitcoin Grants 是二次方融资机制在现实中的一个极具代表性的应用案例。它是一种用于资助开源软件项目及其他公共物品的方法，运行于以太坊区块链生态系统。开源软件是公共物品的典型例子，因为它是非竞争性的，即其他人的使用不会降低其效益也是如此；同时，它是非排他性的，任何人，无论是否做出贡献，都可以免费使用。

据 Yash Agarwal 介绍，Gitcoin 已经为开源软件提供了超过 7280 万美元的资助。此外，Agarwal 还提供了一个简单的例子，说明 Gitcoin 如何使用二次方融资算法，这在实际操作中是 BHW 提出的资本约束二次方融资机制的一种变体。

Gitcoin Grants 明确应用了二次方融资算法。Pasquini 描述了 Gitcoin 在 2020 年第七轮和第八轮资助中的操作流程。在每轮期间，贡献者可以在网页上查看参与项目，选择投资项目并进行加密货币转账。网页会实时更新当前收到的总金额，并展示在匹配资金（根据二次方融资规则）注入后的预期金额。例如，第八轮有 444 个项目和 4953 个贡献者，每个项目的个人贡献平均约为 30 DAI。

Gitcoin Grants 的公共网页展示了资助平台的效果。到目前为止，Gitcoin Grants 已收集了 460 万个独立捐款，支持了 5242 个项目 [6]。然而，目前网站上的活动水平似乎不太活跃。例如，许多项目（即使离轮次结束不到一周）筹集的资金还不到 100 美元。此外，匹配池中的资金通常也很少，很多项目的资金不到 1000 美元。

因此，尽管 Gitcoin Grants 在公共物品资助领域可能还只是一个较小的参与者，但它确实是二次方融资机制的一个实际应用示例。在某种程度上，能够在短短几年内将一个融资算法从学术论文转化为实际应用，这是一项了不起的成就。这证明了 DAO 模型的灵活性，为测试平台和创新治理平台提供了开放的空间。

关于作者

Brian Grenadier 是斯坦福大学法学院的法学博士候选人。他拥有斯坦福大学历史学学士学位，并具备扎实的数学和数据分析知识。这篇文章是他为“CS 352B：区块链治理”课程撰写的期末论文。

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